Sistemas de ecuaciones lineales

Método de solución

Reducción

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 3·x + 2·y = 4
 5·x - 3·y = 5

Nuestro objetivo es cancelar una de las variables. ¿Cómo lo hacemos?. Bien, lo estrategia es la siguiente, fijamos una variable a cancelar, por ejemplo "x", tenemos que tratar de hallar un sistema de ecuaciones equivalente al dado de manera que al sumar ambas ecuaciones miembro a miembro, se cancelen los términos de variable "x".

Aparentemente es un lío, pero vamos a verlo paso a paso. Partamos del sistema inicial...

3·x + 2·y = 4
5·x - 3·y = 5

Si multiplico la primera ecuación miembro a miembro (ambos lados de la igualdad) por -5 y la segunda por 3, tenemos que


-15·x - 10·y = -20
15·x - 9·y = 15             

Fíjate como los términos en "x" quedan opuestos, en la primera -15·x y en la segunda 15·x

Si ahora sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, tendremos que:

-15·x - 10·y = -20
  15·x - 9·y = 15
---------------------                                                                   
   0·x - 19·y = -5   

Por lo que, despejando "y", tendremos que  y = 5/19

Sustitución

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

  x + y = 1
  x - y = 3

En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. Así que, para empezar, vamos a fijar qué variable queremos despejar.

En principio, y como consejo, debemos despejar aquella que tenga como coeficiente 1, ya que de lo contrario tendríamos una fracción al despejarla y los cálculos serían más tediosos.

Así que vamos a comenzar por despejar, de la primera ecuación, la variable "y". Así, por tanto, tendremos que

y=1-x

y, sustituyendo en la segunda ecuación, tenemos que

x-(1-x)=3, haciendo cálculos,

x-1+x=3, agrupando términos en el lado izquierdo de la igualdad tenemos que,

-1+2·x=3, agrupando términos a un lado y a otro de la igualdad

2·x=3+1, luego

2·x=4, y de aquí que

x=2.

Una vez obtenido el valor de una de las variables, lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y obtenemos el valor de la otra variable.

Así, si x=2 y sustituyendo en la primera ecuación, tenemos que

2 + y = 1, despejando

y=1-2=-1

Por tanto la solución al sistema es x=2 e y=-1, o lo que es lo mismo (2,-1).

Igualación

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 1
x - y = 3

En este método de resolución, nuestro objetivo es despejar, en ambas ecuaciones, la misma variable. Así que en principio, fijemos la variable a despejar. ¿Por ejemplo "x"?. Ok, si despejamos de ambas ecuaciones la variable "x", tendremos que

x=1-y
x=3+y

De este modo, si "x" es igual a esas dos expresiones, ambas expresiones deberán ser iguales entre sí. Esto es,

1-y=3+y

con lo que, si despejamos la variable "y", tendremos que

1-3=y+y

por tanto

-2=2·y

y de aquí que

y=-1.

Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema inicial, por ejemplo, en la primera, tenemos que x=2.