Teoría de conjuntos
En
matemáticas, un conjunto
es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.
Conjunto
finito
En matemática, un conjunto
finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos. Por ejemplo {2,
4, 6, 8, 10} es un conjunto finito con cinco elementos. La cardinalidad o número de elementos de un conjunto
finito es igual a un número natural.
Conjunto
infinito
- Los números
enteros Z
= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} forman un conjunto infinito y numerable.
- Los puntos en una recta, representados por un número real,
forman un conjunto infinito y no numerable.
Conjunto
vacío
En matemáticas, el conjunto vacío es el conjunto que carece de elementos. Puesto
que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es
único.
Algunas
propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas
para el conjunto vacío. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto
vacío se postula.
Conjunto
universo
En matemáticas,
principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por todos los objetos de
estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo
que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números
naturales N. Al conjunto
universal también se le denomina conjunto
referencial, universo del
discurso o clase universal,
según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.
Diagramas
Los
diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones
(conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La
línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el
conjunto universal U.
Diagrama de ven
Un Diagrama de Venn es una
representación gráfica, normalmente óvalos o círculos, que nos muestra las
relaciones existentes entre los conjuntos. Cada óvalo o círculo es un conjunto diferente. La forma
en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones
lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos
se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas
características comunes. Ejemplo
Diagrama de Euler
Un diagrama de Euler o esquema de Euler es una manera diagramática de
representar a los conjuntos y sus relaciones. Son una representación moderna de los
círculos de Euler, los cuales deben su nombre a su creador, Leonhard Euler.Los diagramas de Euler normalmente consisten de simples curvas cerradas en el plano que son usadas para describir conjuntos. Las relaciones espaciales entre las curvas (superposición, contención o ninguno) corresponden, respectivamente, a relaciones de intersección, subconjunto y disjuntes, de la teoría de conjuntos.
Estos diagramas son una generalización del bien conocido diagrama de Venn, el cual representa todas las posibles intersecciones entre los conjuntos presentes dados.
A la intersección del interior de una colección de curvas con el exterior del resto de curvas se le llama zona. Así, dado un conjunto de curvas, en los diagramas de Venn todas las zonas deben estar presentes, pero no así en un diagrama de Euler, donde algunas zonas podrían no estar.
Relación entre conjuntos
Igualdad de
conjunto
Dos
conjuntos y se dicen iguales, lo que se
escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo
elemento de A está también contenido en B y todo elemento
de B está contenido en A.
Operaciones entre conjuntos
unión
La unión de los
conjuntos A y B es el conjunto, denotado por AUB, formado por los
elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto,
expresado por comprensión es:
AUB = { xєU / x A ˅ xєB}
Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el
conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.
Intersección
Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o},
entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los
elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es:
A∩B = { a, e}
|
Diferencia
Así, por ejemplo, si A = { a,
b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos
estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto
es:
A – B = { b, c, d }
Complemento
El complemento
o el conjunto complementario de un conjunto dado
es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto
original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos
se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto
de los números primos P
es el conjunto de los números no primos C,
que está formado por los números compuestos y el 1:
El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
